長文慎入：機會率

利申：我唔識統計學[1]

記得中學年代，有朋友鍾意開玩笑，問親佢嘢，都話「一係發生，一係唔會發生，所以係 50%」。我當時心諗：錯得咁明顯嘅嘢，要 disprove 佢有幾難吖！但係返到屋企諗嚟諗去，都諗唔到點樣證明佢係錯。

又話說，原本呢個「50%論」明顯係笑話，但原來係有人相信嘅。兩年前有位熱血師奶喺網上爭論嘅時候，為咗聲援朋友，竟然引用呢個「50%論」，嘗試論證某女KOL有50%機會因為網上言論而被跟蹤。最後當然俾人笑到臉黃啦。

不過究竟點解「50% 論」係錯呢？咁就唔容易解釋。甚至，可能錯唔晒𠻹。

【機會率係咩嚟？】

機會率係咩嚟？ 呢個問題都唔容易答。我哋知道，擲「公、字」嘅機會率分別都係 50%，六面骰擲中某一個數字嘅機會率係 1/6。呢啲機率係點樣嚟呢？如果講理論，唔好意思，個答案好摟打，其實係 假設 嚟嘅。嚴格嚟講，唔係任何一隻銀仔擲公字都 50%，只有 “fair coin” 先至係 50%；亦都唔係每一粒骰都係平均 1/6 機會擲出一至六，只有 “fair dice” 先至係。至於現實生活嘅銀仔骰仔係咪 “fair” 嘅，就好睇佢製作得好唔好，有冇人出老千，等等。

點樣驗證銀仔同骰仔係咪 “fair”？理論上可以靠檢視佢物理上係咪均稱，不過實際上都係用 law of large numbers 比較有效率。我哋知道如果一粒骰仔真係 “fair” 嘅話，擲一萬次就大約有五千次係公、五千次係字。擲完一萬次，如果啲數字差唔多，咁我哋就會相信個銀仔應該係 “fair coin” 嚟嘅。

但其實呢個問題仲未完嘅。就算銀仔骰仔冇出術，都唔排除會有人用只喺小說出現嘅高超手法，控制擲出嚟嘅結果。雖則話 butterfly effect 加上 quantum mechanics 會令呢件事難度飆升，但我唔識排除呢個可能性[2]，唯有講埋。咁究竟世界上有冇「真正」嘅「隨機」擲銀仔呢？ [唔知呀，咁深嘅哲學問題…]

【我升大學嘅機會率係幾多？】

香港嘅大學學位唔算多。實際數字喺度唔重要，舉例啫。就當每年有2萬學位，有5萬學生報考。咁一個學生成功考到大學嘅機會率係幾多？40%？ 其實好睇一個「學生」係咩嚟。如果佢係 Band 1 學校年年考第一，咁佢考到大學嘅機會率可能係 99+%。相反，如果佢從來唔讀書年年考包尾，咁佢考到大學嘅機會率可能接近零。將所有情況用某啲方法拉均(average)嘅話，最後計出嚟應該係 40% 嘅。你亦都可以話，「隨機」抽出一個學生，佢入大學嘅機會係 40%。

不過呢 40% 究竟有冇「用」就見仁見智喇。雖然我唔敢話「隨機」係「資訊不足」嘅代名詞，但好多時，你掌握嘅資訊越多，機率嘅估算就會越「準確」。正如上面兩個學生嘅例子咁，你知佢哋平日讀書成績，自然可以更加「準確」預計佢哋入到大學嘅機會。所以你攞住 40% 呢個數有冇「用」呢？如果你隨便搵個學生出嚟，我唔識佢，咁我根據手頭上資訊只可以話佢有 40% 機會入大學[3]。但由於學生嘅考試能力係相對容易查出，所以講 40% 好無謂。

呢一點，亦都係點解「50% 論」係「錯」。因為只要我哋對一件事有多少少認知，就可以更「準確」判斷佢會唔會發生。例如話，某人升唔升到大學，當然唔可以話「一係得，一係唔得，所以 50%」。攞住政府公布嘅學額同學生數目去計算出 40% 都「好啲」吖。（雖然都唔好得去邊⋯）

點解我特登攞「升大學」做例子，係因為我人生第一次重大考驗嘅時候，望住考評局數據，見到數據顯示某一科會考攞 A 嘅人，高考唔合格嘅機會極低。我諗咗好耐：我嗰科溫咗個 syllabus 嘅 1/3 都冇，走去考天才，究竟有幾大風險呢？⋯⋯ 最後冇肥到，但想告誡下大家，唔好以為「100個人只有1個fail」就代表你有 99% 機會 pass。其實如果你平時穩定地包尾嘅話，咁你 fail 嘅機會率接近 100%。

【機率嘅正確用法】

理論嘅嘢，啱晒都冇用。最緊要係現實生活中，用咗之後改善自己嘅生活。而據我所知，機率有兩個正確用法。

第一，用嚟計數。即係如果你上數學堂或者考統計學，啲機率係用嚟俾你做數，用嚟攞沙紙嘅。非常有用，而只要你有分，咁亦都 by definition 代表你係用得非常正確。

第二，用嚟估計好多樣「同類」事件發生之後，唔同結果嘅分佈。換句話即係要應用 law of large numbers。講單次擲骰嘅結果冇咩意義，所謂「擲骰出 4 字嘅機率係 1/6」某程度上只係講緊擲好多次骰嘅話，有大約 1/6 係出 4 字。

重點係，要有好多「同類」事件發生，先至可以 invoke law of large numbers，將啲虛幻嘅機率，變成對實實在在嘅結果嘅預算。例如賭場咁，佢唔需要每一鋪都贏，佢只需要知道，只要冇人出千，越多人玩，靠 law of large numbers，佢賺錢嘅機會就越接近 100%，而且會越賺越多。又例如保險公司，只要有足夠多嘅人買保險，咁佢哋就可以靠 law of large numbers 同埋死亡率，去計返人壽嘅保金同保額[4]。

【人生如賭博，贏輸都無時定】

喂，我升大學嘅機會率係幾多？原來我未答呢個問題。如果我平日考試好叻，咁機率可能高達 99+%。如果我平日成績好差，咁可能係接近零。但係，99%機會嘅嘢都唔一定發生，而接近冇可能發生嘅嘢，都唔排除有奇跡。呢個世界上又冇 10000 個「我」，最後一係得，一係唔得，點樣運用 law of large numbers 去體現自己升大學嘅機率呢[5]？如果一件事成世只發生一次，一係得一係唔得，咁我話佢係 50/50 又有咩問題？

我覺得我今日問嘅問題真係越嚟越難答。

最吊詭嘅係，其實呢啲「一次性」嘅機率，通常都牽涉所謂 subjective probability，口同鼻拗。Subjective 嘅原因唔(只)係因為升學嗰個係「我」，而係我成世人唔會以同一個狀態考 N 次大學[6]。相反，如果我係賭徒，我去賭場玩返一頭半個月，輸身家就係必然嘅，因為同一類型嘅賭局可以發生 N 次，N 越大，我輸嘅機會越大，最後係無限接近 100%。呢個 probability 係 objective 嘅。不過賭徒總係覺得自己會贏，佢有自己嘅 subjective probability，輸到甩褲都覺得有翻身機會。佢係咪「錯」呢？理論上佢只要堅信自己有贏嘅機會，同埋堅信自己輸咁多純粹係因為「唔好彩」，其實你係冇 rational 嘅理由去證明佢錯。不過現實世界冇咁多「無限接近100%」而唔係100%嘅嘢，所以實際上佢都係錯嘅。

不過，喺賭場賭錢就話明知贏唔到莊家啫。投資又點呢？如果我覺得股市有七成機會升，買咗好多，最後佢跌 — — 咁係我估錯咗，定係唔好彩？ ［唔識答，不要再說了.jpg]

由於大家都唔知答案，所以「9upper」嘅行業就應運而生。搵條友出嚟講句「今年樓市好大機會跌」有幾難？又唔係 100%，佢老點咗你都吹佢唔漲。一般嚟講，任何人用「機會率」去描述一啲「一次性」事件，佢唔係統計學專家，只不過係一個 9upper[7]。

咁當然啦，啲「一次性」事件嘅機率又未必係老作出嚟嘅。如果你係用一個 statistical model 去計啲機率，咁就可以用同一個 model 去計唔同事件嘅機率。做咗 N 次之後，又係用 law of large numbers，可以估計返你嘅 model 準唔準確。有咩用呢？第一，呢種 model 用嚟賭波、賭馬，計賠率非常有用。（當然仲有好多其他應用啦，不過講賭機易啲解釋）

第二，其實你平時腦入面彈出嚟嘅「機會率」，就係你腦入面對現實世界砌咗個 model 再計出嚟嘅數字。如果你估你有 90% 機會升大學，你就唔會喺暑假開始搵長工，反而可能會睇下心儀大學嘅資訊，甚至睇下關於有興趣學系嘅資訊；相反，如果你覺得入大學嘅機會微乎其微，咁你可能真係去咗地盤學扎鐵[8]。

就算唔知聽日發生咩事，都要都要為比較可能發生嘅嘢做準備。如果我哋因為未來發生嘅事無法 100% 準確預算，就唔做準備，或者唔跟返 “subjective” 嘅機率去做準備，咁人類好快就會絕種。

我哋從來都唔會知道自己估算嘅機率準唔準確，不過無論如何，都唯有相信自己所相信嘅嘢，然後去做。或者聽日有個隕石炸爛地球，或者外星人來襲，或者金仔同侵侵打核戰。我哋覺得呢啲嘢都有 0.00…X% 可能性，但又有咩計？最後人生都係賭博，歌仔都有得唱[9]。

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